Επίλυση Ολοκληρωτικών Εξισώσεων Fredholm Στον Ηλεκτρομαγνητισμό Χρησιμοποιώντας Τη Μέθοδο Των Ροπών Και Σχήματα Ομαλοποίησης

Abstract

Στην παρούσα διπλωματική εργασία μελετώνται οι ολοκληρωτικές εξισώσεις και πιο συγκεκριμένα οι εξισώσεις τύπου Fredholm. Οι εξισώσεις αυτές μπορούν να επιλυθούν είτε αναλυτικά, είτε με αριθμητικές μεθόδους. Στο Κεφάλαιο 1 γίνεται μία διεξοδική βιβλιογραφική παρουσίαση των ολοκληρωτικών εξισώσεων Fredholm και αρκετών διαδικασιών επίλυσης τους. Παρόλα αυτά, οι αναλυτικές μέθοδοι επίλυσης των ολοκληρωτικών εξισώσεων δεν μπορούν να δώσουν πάντα σαφή αποτελέσματα. Για το λόγο αυτό είναι απαραίτητο να επιστρατεύονται αριθμητικές μέθοδοι με βάση τις οποίες, σύνθετες ολοκληρωτικές εξισώσεις επιλύονται αριθμητικά. Έτσι, στο Κεφάλαιο 2 παρουσιάζεται η μέθοδος των ροπών, σύμφωνα με την οποία μία ολοκληρωτική εξίσωση στον ηλεκτρομαγνητισμό, μετατρέπεται σε μία εξίσωση μητρών που είναι εύκολα επιλύσιμη με τη βοήθεια λογισμικών όπως το MATLAB. Πιο συγκεκριμένα αφού παρουσιαστούν οι γενικοί κανόνες επίλυσης με τη βοήθεια της μεθόδου των ροπών, παρουσιάζεται η λύση της ολοκληρωτικής εξίσωσης HallEn για μία γραμμική κεραία. Επιπρόσθετα, χρησιμοποιείται το λογισμικό MATLAB, για την επίλυση της ολοκληρωτικής εξίσωσης HallEn με σημειακή προσαρμογή χρησιμοποιώντας παλμικές συναρτήσεις βάσης. Στο τρίτο και τελευταίο Κεφάλαιο της διπλωματικής εργασίας, παρουσιάζεται μία μέθοδος ομαλοποίησης, η οποία αποσκοπεί στη μετατροπή μίας ολοκληρωτικής εξίσωσης Fredholm α' είδους σε ολοκληρωτική εξίσωση Fredholm β' είδους. Αρκετές ολοκληρωτικές εξισώσεις α' είδους, είναι δύσκολο να επιλυθούν ακόμα και με αριθμητικές μεθόδους δίνοντας έτσι ανακριβή αποτελέσματα. Για αυτό το λόγο με τη βοήθεια της θεωρίας τελεστών μία ολοκληρωτική εξίσωση α' είδους μπορεί να μετατραπεί σε εξίσωση β' είδους. Στην παρούσα διπλωματική θα εξετάσουμε δύο διαφορετικές μεθόδους που βασίζονται στην ομαλοποίηση (regularization) των εξισώσεων. Η πρώτη είναι η Method of Analytical Regularization που αναλύθηκε από τον Α. Nosich και η δεύτερη είναι η Analytical Regularization Method του Y. Tuchkin. Σκοπός μας είναι η παρουσίαση της κάθε μεθόδου ξεχωριστά και έπειτα η εύρεση της μεταξύ τους συσχέτισης, χρησιμοποιώντας θεωρία τελεστών.