Επίλυση Της Ολοκληρωτικής Εξίσωσης Hallen Με Τη Χρήση Αριθμητικών Μεθόδων Και Της Τεχνικής Σημειακής Ισότητας Και Βελτιστοποιήσεις Της Επίλυσής Μας, Με Τη Μέθοδο Fmm

Abstract

Η εργασία αυτή ασχολείται με την μελέτη των θεμελιωδών ιδιοτήτων των ολοκληρωτικών εξισώσεων Halln (Halln Equation-HE) και Pocklington (Pocklington Equation-PE) καθώς και με τη μελέτη της γραμμικής κεραίας τροφοδοτούμενης στο κέντρο της. Η κεραία αυτή μπορεί να θεωρηθεί ως ο θεμελιώδης τύπος κεραίας εκπομπής. Η κεραία προσεγγίζεται από ένα θεωρητικό μοντέλο που ονομάζεται «σωληνοειδές δίπολο». Πρόκειται για έναν τέλεια αγώγιμο μεταλλικό σωλήνα με απείρως λεπτά τοιχώματα, με το σημείο τροφοδοσίας ακριβώς στο κέντρο του. Βασικός σκοπός της μελέτης αυτής, είναι ο προσδιορισμός της ρευματικής κατανομής κατά μήκος της κεραίας, και επομένως της συνθέτου αγωγιμότητας εισόδου αυτής. Με την βοήθεια των κυματικών εξισώσεων και εξισώσεων Maxwell, γίνονται η εξαγωγή της ολοκληρωτικό-διαφορικής εξίσωσης του Pocklington και κατόπιν της ολοκληρωτικής εξίσωσης του Halln, για τον ακριβή πυρήνα. Χρησιμοποιούνται δύο μοντελοποιήσεις για την τροφοδοσία της κεραίας: η γεννήτρια δέλτα-συνάρτησης (delta function generator - DFG) και η γεννήτρια μαγνητικών κροσσών (frill generator - FG).Οι αριθμητικές μέθοδοι για την επίλυση ηλεκτρομαγνητικών προβλημάτων αποτελούν την πλέον διαδεδομένη μέθοδο, η οποία χρησιμοποιείται τις τελευταίες δεκαετίες κυρίως λόγω των ισχυρών επεξεργαστών και των καινούργιων λογισμικών των υπολογιστών. Επίσης στην εργασία αυτή προσπαθούμε να προσεγγίσουμε έναν γρήγορο και αποδοτικό αλγόριθμο για την επίλυση των ολοκληρωτικών εξισώσεων του Halln και του Pocklington, σχετικά με την κατανομή του ρεύματος στην πεπερασμένου μεγέθους γραμμική πολύ λεπτή κεραία. Στην προσπάθεια μας αυτή χρησιμοποιούμε τη μέθοδο των ροπών (Method of Moments-MOM) η οποία αποτελεί μια ισχυρή αριθμητική τεχνική στην επίλυση ολοκληρωτικών εξισώσεων. Συγκεκριμένα χρησιμοποιούμε δύο διαφορετικές μεθόδους ροπών: την μέθοδο Galerkin με παλμικές συναρτήσεις (Galerkin method pulse functions - GMPF) και την τεχνική σημειακής ισότητας με τριγωνικές συναρτήσεις (point-matching triangular functions - PMTF). Στους αριθμητικούς υπολογισμούς, χρησιμοποιούμε τον βελτιωμένο τύπο για την σταθερά C του δεξιού μέλους της εξίσωσης HallEn, ο οποίος έχει προταθεί από τον κύριο Φικιώρη [1], έτσι ώστε η αριθμητική μας λύση να συγκλίνει ταχύτερα. Η σύγκλιση γίνεται ακόμη ταχύτερη, όταν στα αποτελέσματά μας εφαρμόσουμε συγκεκριμένες μεθόδους επιτάχυνσης σύγκλισης (convergence acceleration methods - CAM), οι οποίες έχουν προταθεί από τον κύριο Φικιώρη [2]. Ακόμη χρησιμοποιήσαμε τη ταχεία πολυπολική μέθοδο (Fast Multipole Method-FMM) η οποία αποτελεί μια μαθηματική τεχνική για την επιτάχυνση της επίλυσης. Ακολούθως, αυτές οι τεχνικές εφαρμόζονται στις ολοκληρωτικές εξισώσεις Halln και Pocklington(ΗΕ και PE) για λεπτή κεραία εκπομπής, η οποία τροφοδοτείται είτε από το μοντέλο της Γεννήτριας Πεπερασμένου Διακένου - ΓΠΔ (Finite Gap Generator-FGG) είτε από το μοντέλο της Γεννήτριας Δέλτα Συνάρτησης - ΓΔΣ (Delta Gap Generator-DFG) με στόχο τον προσδιορισμό της κατανομής του ρεύματος κατά μήκος της κεραίας.Τέλος στην εργασία αυτή θα υπάρχει ένα τμήμα σχετικά με την επιλυσιμότητα και τη μη-επιλυσιμότητα των ολοκληρωτικών εξισώσεων Halln και Pocklington αντίστοιχα, καθώς και σύγκριση μεταξύ των αποτελεσμάτων, χρησιμοποιώντας τις ανωτέρω μεθόδους επίλυσης. Τα συγκριτικά αποτελέσματα φαίνονται σε αντίστοιχα γραφήματα.