Δυναμική Σολιτονίων Σε Μη Γραμμικά Μέσα Με Μη-τοπική Απόκριση

Abstract

Τα τελευταία χρόνια υπάρχει ιδιαίτερο μαθηματικό ενδιαφέρον στη μελέτη σολιτονικών λύσεων που προκύπτουν από μη γραμμικές μερικές διαφορικές εξισώσεις όπως η μη γραμμική εξίσωση Schrodinger. Τα σολιτόνια αυτά είναι πειραματικά παρατηρήσιμα σε πληθώρα μέσων, όπως οι φωτονικοί κρύσταλλοι και το πλάσμα. Η άμεση επίλυση των εξισώσεων αυτών με αριθμητικές μεθόδους, επιλύει το πρόβλημα, αλλά δεν μας δίνει εποπτική ποιοτική εικόνα της δυναμικής εξέλιξης του συστήματος, πράγμα που είναι απαραίτητο για να κάνουμε ποιοτικές προβλέψεις της συμπεριφοράς του για εν δυνάμει πρακτικές εφαρμογές. Μια απλοποίηση της διαδικασίας επίλυσης επιτυγχάνεται χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του σωματιδίου (effective particle method) κατά την οποία ανάγουμε το πρόβλημα διάδοσης στην εξέλιξη κίνησης ενός χαμιλτονιανού συστήματος στο οποίο έχουμε αντικαταστήσει τη σολιτονική λύση με ένα σωματίδιο. Στην περίπτωση του προβλήματος μας έχουμε φαινόμενα μη τοπικής εξάρτησης τα οποία με τις κατάλληλες αναγωγές ενσωματώνονται στο χαμιλτονιανό σύστημα. Στην παρούσα εργασία παρατηρούμε ότι η παγίδευση των σολιτονίων (σωματιδίων) εξαρτάται από ένα αλληλοσυσχετισμό των χαρακτηριστικών τους με τα χαρακτηριστικά του μέσου. Παρατηρούμε ότι έχουμε περιορισμούς στις μορφές των σολιτονίων που μπορούν να παγιδευτούν λόγω της διαμόρφωσης του μέσου, όσο και λόγω της μη τοπικής συμπεριφοράς, ανάλογα με τα χαρακτηριστικά τους. Αρχικά, αντιμετωπίζουμε τη δυναμική εξέλιξη του συστήματος όταν σε αυτό συνυπάρχουν όροι εγκάρσιας ανομοιογένειας και μη-τοπικότητας. Αυτοί οι όροι μεταφράζονται ως δυναμικό στο Χαμιλτονιανό σύστημα το οποίο σε αυτήν την περίπτωση αποτελεί ένα αυτόνομο σύστημα. Εν συνεχεία, στην περίπτωση ύπαρξης διαμήκους ανομοιογένειας στην εξίσωση NLS, αυτή οδηγεί σε ένα αντίστοιχο μη-αυτόνομο Χαμιλτονιανό σύστημα στο οποίο υπάρχει ένας όρος εξωτερικής διαταραχής που το καθιστά μη ολοκληρώσιμο και βλέπουμε πως ανακύπτει χαοτική συμπεριφορά αν ικανοποιηθούν οι κατάλληλες συνθήκες. Τέλος συγκρίνουμε τα εξαγμένα αποτελέσματα από την απλοποιητική μέθοδο του σωματιδίου, με αυτά της άμεσης αριθμητικής επίλυσης των μερικών διαφορικών εξισώσεων.