Το Πρόβλημα Της Ύπαρξης Γνήσιας Ισορροπίας Nash Σε Γραφηματικά Παίγνια

Abstract

Για την περιγραφή ενός παιγνίου χρειάζεται, γενικά, πληροφορία εκθετική ως προς το πλήθος των παικτών. Έτσι, η χρήση των εργαλείων της θεωρίας παιγνίων για την ανάλυση παιγνίων με μεγάλο αριθμό παικτών, όπως το διαδίκτυο και η αγορά, αντιμετωπίζει το εγγενές πρόβλημα του εκθετικού μεγέθους αναπαράστασης του παιγνίου πράγμα που κάνει οποιοδήποτε πρόβλημα εξ αρχής υπολογιστικά απρόσιτο. Σε τέτοια παίγνια ακόμα και μέγεθος περιγραφής πολυωνυμικό ως προς το πλήθος των παικτών δεν είναι ικανοποιητικό. Είναι, λοιπόν, ενδιαφέρον να διερευνηθεί αν υπάρχουν παίγνια με πιο συμπαγή περιγραφή. Παρότι εύλογο το ερώτημα δεν υπάρχει στη βιβλιογραφία ανάλυση τέτοιων παιγνίων.Στην παρούσα διπλωματική εργασία μελετώνται περιπτώσεις στις οποίες για την περιγραφή ενός παιγνίου χρειάζεται πληροφορία λογαριθμική ως προς το πλήθος των παικτών. Σε τέτοια παίγνια με διάφορες τοπολογίες γράφου εξαρτήσεων μεταξύ των παικτών, μελετάται η χρονική πολυπλοκότητα του προβλήματος ελέγχου ύπαρξης ισορροπίας Nash. Μεταξύ άλλων αποδεικνύεται ότι αν ο γράφος εξαρτήσεων ενός τέτοιου παιγνίου είναι αλυσίδα ή δακτύλιος το πρόβλημα ανήκει στην κλάση P, των προβλημάτων που λύνονται σε πολυωνυμικό χρόνο από ντετερμινιστική μηχανή Turing, ενώ αν ο γράφος είναι τετραγωνικό πλέγμα ή τόρος το πρόβλημα είναι NEXP-πλήρες, δηλαδή είναι πλήρες στην κλάση των προβλημάτων που λύνονται από μη ντετερμινιστικές μηχανές Turing εκθετικού χρόνου. Οι αποδείξεις για το πλέγμα και τον τόρο είναι δύσκολες και τεχνικές, αλλά χρησιμοποιούνται ενδιαφέροντα αποδεικτικά τεχνάσματα.