Εισαγωγη Δυο Αγωγιμων Η Διηλεκτρικων Σφαιρων Σε Ομογενες Ηλεκτρικο Πεδιο

Abstract

Το θέμα που μελετάμε στην παρούσα εργασία είναι ο υπολογισμός του δυναμικού και του ηλεκτρικού πεδίου στο χώρο όταν εισάγουμε δύο αγώγιμες ή διηλεκτρικές σφαίρες σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο .Η συνάρτηση του δυναμικού ικανοποιεί την εξίσωση Laplace παντού στο χώρο . Αυτό έχει σαν συνέπεια να αναδεικνύει σε κεντρικής σημασίας ζήτημα την λύση της εξίσωσης Laplace , την οποία επιχειρούμε να δώσουμε στο σφαιρικό και στο δισφαιρικό σύστημα συντεταγμένων .Στην αρχή κάνουμε μία σύντομη παρουσίαση των δύο συστημάτων και δίνουμε την έκφραση της Λαπλασιανής εξίσωσης σε αυτά . Ειδικά για το δισφαιρικό σύστημα συντεταγμένων αναπτύσσουμε περιληπτικά την έννοια της R-διαχωρισιμότητας .Τα προβλήματα που μελετάμε είναι δύο. Πρώτο όταν εισάγουμε δύο αγώγιμες σφαίρες στο ομογενές ηλεκτρικό πεδίο και δεύτερο όταν εισάγουμε δύο διηλεκτρικές σφαίρες. Η λύση δίνεται για κάθε πρόβλημα και στα δύο συστήματα συντεταγμένων. Η διεύθυνση του ομογενούς ηλεκτρικού πεδίου και της διακέντρου των δύο σφαιρών έχουν πάντα την διεύθυνση του άξονα z .Η βασική ιδέα της λύσης που παρουσιάζουμε συνίσταται στην ανάπτυξη της συνάρτησης δυναμικού σε απειροσειρά , κεντρικό ρόλο στην οποία έχουν οι συναρτήσεις Legendre .Στη συνέχεια ικανοποιούμε τις συνοριακές συνθήκες του προβλήματος και καταλήγουμε σε κάθε περίπτωση , αφού χρησιμοποιήσουμε τις σχέσεις ορθογωνιότητας των συναρτήσεων Legendre σε ένα γραμμικό σύστημα 2η εξισώσεων και 2η αγνώστων που ικανοποιούν οι συντελεστές της απειροσειράς .Σε όλη την διάρκεια της μελέτης επιδιώξαμε ακριβείς και κλειστές μαθηματικές λύσεις . Παρά τα πολύπλοκα ολοκληρώματα που ανέκυψαν και την αδυναμία απ' ευθείας εφαρμογής των σχέσεων ορθογωνιότητας των συναρτήσεων Legendre, μόνο για ένα ολοκλήρωμα καταφύγαμε στην αριθμητική ολοκλήρωση . Στο επόμενο μέρος της εργασίας λύνουμε τα συστήματα στα οποία έχουμε καταλήξει με την χρήση του λογισμικού πακέτου της Mathematica .Συγκρίνουμε τα αριθμητικά αποτελέσματα και επιβεβαιώνουμε την θεωρητική ορθότητα των λύσεων. Για καλύτερη εποπτική εικόνα του προβλήματος στο τέλος της εργασίας παραθέτουμε γραφικές παραστάσεις της επιφανειακής πυκνότητας φορτίων στις αγώγιμες σφαίρες και της επιφανειακής πυκνότητας φορτίων πόλωσης στις διηλεκτρικές σφαίρες.