Θεωρία Και Εφαρμογές Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων Στην Όραση Υπολογιστών

Abstract

Στην παρούσα διπλωματική εργασία, μελετάται η χρήση των Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων (ΜΔΕ) σε τρία σημαντικά προβλήματα της Όρασης Υπολογιστών (ΟΥ) και της Επεξεργασίας Εικόνων: την Απομάκρυνση του Θορύβου, το Inpainting και την Παρεμβολή. Δίνεται ιδιαίτερη έμφαση στην περίπτωση διανυσματικών εικόνων. Στα πρώτα κεφάλαια, παρουσιάζουμε και αναλύουμε θεωρητικά πολλές από τις υπάρχουσες μεθόδους ΜΔΕ διάχυσης για τα παραπάνω προβλήματα. Επίσης, προτείνουμε μία νέα μέθοδο Inpainting διανυσματικών εικόνων (Γενικευμένη CDD μέθοδος) καθώς και μία νέα, μη γραμμική μέθοδο Παρεμβολής διανυσματικών εικόνων, που βασίζεται σε γενικές ΜΔΕ διάχυσης. Στη συνέχεια, διερευνάμε ορισμένα θεωρητικά θέματα, που ανακύπτουν από την ανάγκη αριθμητικής προσέγγισης και υλοποίησης των μεθόδων ΜΔΕ για την ΟΥ. Παραθέτουμε και αποδεικνύουμε κάποια νέα θεωρήματα, που αφορούν την ακρίβεια και την σύγκλιση της προσέγγισης της γενικής Ανισοτροπικής Διάχυσης Κατευθυνόμενων Λαπλασιανών με επαναληπτική τοπική συνέλιξη. Επίσης, διερευνάμε τη σχέση ανάμεσα στην συνεχή και στην εξαρχής διακριτή θεώρηση των φ-συναρτησιακών και αποδεικνύουμε ένα νέο θεώρημα, το οποίο αποσαφηνίζει τη σχέση αυτή. Στη συνέχεια, παρουσιάζουμε διεξοδικά, με έναν αρκετά ενοποιημένο τρόπο, την αριθμητική υλοποίηση πολλών από τις υπάρχουσες μεθόδους ΜΔΕ διάχυσης για την ΟΥ καθώς και των νέων μεθόδων που προτείνουμε. Επιπρόσθετα, προτείνουμε και υλοποιούμε μία νέα μέθοδο αξιολόγησης και σύγκρισης των διαφόρων ΜΔΕ διάχυσης, μέσω της εισαγωγής της έννοιας του Ολικού Φίλτρου της ΜΔΕ. Τέλος, παρουσιάζουμε παραδείγματα εφαρμογής των διαφόρων μεθόδων ΜΔΕ που μελετήσαμε. Συγκρίνουμε μεταξύ τους τις διάφορες μεθόδους, καταλήγοντας σε συμπεράσματα σχετικά με την αποτελεσματικότητά τους, ενώ παράλληλα αιτιολογούμε και θεωρητικά τα πειραματικά αποτελέσματα.This diploma thesis deals with the usage of Partial Differential Equations (PDEs) in three critical problems of Computer Vision (CV) and ImageProcessing: Denoising, Inpainting and Interpolation. Emphasis is put on the case where the input images are vectorial. In the first chapters, we present and theoretically analyze many of the existent diffusion PDE methods for the problems mentioned above. We also propose a new vectorial image Inpainting method (Generalized CDD method) and a new, nonlinear, vectorial image Interpolation method, based on general diffusion PDEs. Afterwards, we examine some theoretical issues that arise from the need of numerical approximation and implementation of PDE methods for CV. We mention and prove some new theorems, concerning the accuracy and convergence of the approximation of the general Oriented Laplacian based Anisotropic Diffusion with iterative local convolutions. Furthermore, we examine the relation between the continuous and totally discrete approach of phi-functionals and we prove a new theorem, which clarifies this relation. Afterwards, we present exhaustively the numerical implementation of many diffusion PDE methods for CV, with a sufficiently unified way. We also present the numerical implementation of the new proposed methods. Moreover, we propose and implement a new method for the evaluation and comparison of the diffusion PDEs. This method is based on the introduction of the concept of PDE Total Filter. Finally, we present application examples of the studied PDE methods. We compare the methods with each other and we conclude about their efficiency. We also give a theoretical justification of the experimental results.