Η Χρήση Συναρτήσεων Βάσης Ολικού Πεδίου (entire-domain) Σε Ολοκληρωτικές Εξισώσεις Για Γραμμικές Κεραίες Τύπου Hallén Και Pocklington

Abstract

Η γραμμική κεραία που τροφοδοτείται στο κέντρο της είναι ένας πολύ βασικός τύπος κεραίας εκπομπής. Πρόκειται για ένα ευθύ, αγώγιμο, λεπτό καλώδιο με το σημείο τροφοδοσίας ακριβώς στο κέντρο του. Αυτός ο τύπος κεραίας έχει μελετηθεί διεξοδικά από θεωρητική, αριθμητική και πειραματική άποψη, για πάρα πολλά χρόνια. Η βασική άγνωστη ποσότητα είναι το ρεύμα κατά μήκος της κεραίας, που ικανοποιεί μια μονοδιάστατη ολοκληρωτική εξίσωση. Ο τύπος αυτός της κεραίας μελετάται συχνά με αριθμητικές μεθόδους και ιδίως με μεθόδους ροπών (Moment Methods), εφαρμοσμένες σε ολοκληρωτικές εξισώσεις τύπου Hallén και Pocklington. Οι εξισώσεις αυτές μπορούν να πάρουν δύο μορφές ανάλογα με τον πυρήνα που επιλέγεται. Οι δύο πυρήνες αναφέρονται συνήθως ως ο ακριβής και ο προσεγγιστικός πυρήνας. Δύο από τις πιο διαδεδομένες μοντελοποιήσεις για την τροφοδοσία της κεραίας, είναι το delta function generator (DFG) και το frill generator (FG). Ας υποθέσουμε ότι χρησιμοποιείται ο λεγόμενος προσεγγιστικός πυρήνας, πράγμα που είναι συνηθέστατο στην πράξη. Με τη χρήση του προσεγγιστικού πυρήνα οι προαναφερθείσες ολοκληρωτικές εξισώσεις δεν έχουν λύση. Υπάρχουν δύο κατηγορίες συναρτήσεων βάσης (basis functions): οι subsectional (υποπεδίου) και οι entire-domain (ολικού πεδίου). Οι δυσκολίες που συναντώνται στη περίπτωση των subsectional basis functions περιγράφονται με λεπτομέρεια σε αρκετές πρόσφατες εργασίες - [3, 4, 6, 8]. Στις εργασίες αυτές αποδεικνύεται ότι και για το DFG αλλά και για το FG, η βασική συνέπεια της μη-επιλυσιμότητας είναι η εμφάνιση γρήγορων ταλαντώσεων κοντά στα άκρα της κεραίας. Στην περίπτωση του DFG, υπάρχουν ταλαντώσεις και κοντά στο σημείο τροφοδοσίας της κεραίας. Η έλλειψη ταλαντώσεων στην περίπτωση της μοντελοποίησης FG εξηγείται από την αναλυτική μελέτη της κεραίας απείρου μήκους. Σκοπός της παρούσας διπλωματικής είναι μια παρόμοια μελέτη για την περίπτωση των entire-domain basis functions με χρήση του προσεγγιστικού πυρήνα. Η ιδιότητα της μη-επιλυσιμότητας δεν αναφέρεται στα περισσότερα σύγχρονα εγχειρίδια. Στην παρούσα εργασία πρώτα παρουσιάζουμε αναλυτικά τον τρόπο με τον οποίο εξάγουμε τις εξισώσεις Hallén και Pocklington με τη βοήθεια των εξισώσεων του Maxwell. Στη συνέχεια εφαρμόζουμε προσεκτικά τις αριθμητικές μεθόδους στις προαναφερθείσες εξισώσεις κι ακολούθως εξετάζεται η συμπεριφορά των αριθμητικών λύσεων που προέκυψαν με αυτό τον τρόπο. Οι μέθοδοι που χρησιμοποιούνται είναι η μέθοδος Galerkin και η μέθοδος point-matching, με συνημιτονικές συναρτήσεις ολικού πεδίου. Δείχνουμε ότι και σε αυτή την περίπτωση έχουμε επίσης ταλαντώσεις. Συζητάμε τις ομοιότητες και τις διαφορές μεταξύ της μοντελοποίησης DFG και FG, καθώς και μεταξύ των subdomain και entire-domain συναρτήσεων βάσης. Αναφερόμαστε επίσης στη σημασία της παραμέτρου h/a (όπου h είναι το μισό μήκος της κεραίας και α είναι η ακτίνα της κεραίας). Εξηγούμε ότι (όπως και στην περίπτωση των subdomain συναρτήσεων βάσης), οι προαναφερθείσες ταλαντώσεις δεν οφείλονται σε λάθη roundoff. Δείχνουμε ότι οι συνέπειες του roundoff μπορούν να γίνουν σοβαρές. Η διαφοροποίηση είναι σημαντική διότι η επίδραση του roundoff μπορεί να αποφευχθεί από πιο ισχυρούς υπολογιστές, αλλά όχι και οι ταλαντώσεις που προαναφέραμε. Επιπλέον, μελετάται η αγωγιμότητα εισόδου και οι συνθήκες κάτω από τις οποίες μπορούμε να πάρουμε αποδεκτές τιμές της, με τη χρήση του προσεγγιστικού πυρήνα.