Εναλλακτικές Αποδείξεις Και Επέκταση Του Θεωρήματος Kharitonov

Abstract

Το 1978 ο Ρώσος μαθηματικός V.L.Kharitonov απέδειξε ότι προκειμένου να αποφανθούμε για την ευστάθεια μιας οικογένειας πολυωνύμων, των οποίων οι συντελεστές κυμαίνονται μεταξύ δύο ακραίων θετικών τιμών, αρκεί να ελέγξουμε την ευστάθεια τεσσάρων μόνο πολυωνύμων - των λεγομένων πολυωνύμων Kharitonov.Στην παρούσα διπλωματική εργασία δίνουμε δύο εναλλακτικές αποδείξεις του Θεώρηματος Kharitonov και επιπλέον επεκτείνουμε τα αποτελέσματα εξετάζοντας πόσο μπορούν να μεταβληθούν οι συντελεστές μιας οικογένειας πολυωνύμων ώστε κάθε πολυώνυμο που ανήκει σε αυτήν να παραμένει ευσταθές.Πιο συγκεκριμένα, στο Πρώτο Μέρος της εργασίας παραθέτουμε μια βιβλιογραφική επισκόπηση των σημαντικότερων αποτελεσμάτων που αφορούν τόσο το Θεώρημα Kharitonov, όσο και κάποιες επεκτάσεις και γενικεύσεις αυτού.Στο Δεύτερο Μέρος παρουσιάζουμε το απαραίτητο μαθηματικό υπόβαθρο. Σε αυτό περιέχονται οι προτάσεις και τα θεωρήματα που χρησιμοποιούνται στη συνέχεια της εργασίας και επομένως η αναφορά τους κρίνεται αναγκαία.Στο Τρίτο Μέρος δίνουμε την πρώτη απόδειξη του Θεώρηματος Kharitonov υιοθετώντας μια διαφορετική, καινούρια προσέγγιση. Ειδικότερα, εκμεταλλεύομαστε τις συνθήκες Kuhn-Tucker για ένα πρόβλημα ελαχίστου με ανισοτικούς περιορισμούς καθώς και την Πρόταση 1 του μαθηματικού υποβάθρου που παρουσιάστηκε στο Δεύτερο Μέρος.Μια δεύτερη απόδειξη του Θεώρηματος Kharitonov δίνεται στο Τέταρτο Μέρος της εργασίας, όπου χρησιμοποιούμε την Πρόταση 2 που αναφέρθηκε στο μαθηματικό υπόβαθρο.Τέλος, στο Πέμπτο Μέρος προσδιορίζουμε τη μέγιστη μεταβολή των συντελεστών μιας οικογένειας πολυωνύμων ώστε κάθε πολυώνυμο αυτής να παραμένει ευσταθές. Αρχικά, βασιζόμενοι στις συνθήκες Kuhn-Tucker, παρουσιάζουμε τη διαδικασία οργάνωσης υπολογισμού προς αυτήν την κατεύθυνση και στη συνέχεια απλοποιούμε περαιτέρω το συγκεκριμένο πρόβλημα. Ακολούθως, παραθέτουμε ένα αριθμητικό παράδειγμα προς διασαφήνιση και καλύτερη κατανόηση των παραπάνω αποτελεσμάτων.