Σχεδον Περιοδικες Συναρτησεις Και Θεωρημα Δειγματοληψιας Του Shannon

Abstract

Οι σχεδόν περιοδικές συναρτήσεις είναι ένα σημαντικό κεφάλαιο της μοντέρνας ανάλυσης κυρίως λόγω της μεγάλης εφαρμογής που βρίσκει στη δειγματοληψία και την ψηφιακή επεξεργασία σήματος. Σ' αυτήν την εργασία προσπαθούμε να εισάγουμε τον αναγνώστη στις βασικές ιδέες και έννοιες πίσω από τη θεωρία και να διατυπώσουμε μερικά από τα πιο σημαντικά θεωρήματα που την αποτελούν. Η συζήτηση μας ξεκινάει από μία γενική εισαγωγή στις σχεδόν περιοδικές συναρτήσεις και τη συνέχειά τους από τις κλασσικές περιοδικές συναρτήσεις. Περιγράφουμε στο πρώτο κεφάλαιο τις κύριες ιδιότητές τους και το σημαντικό θεώρημα ύπαρξης της μέσης τιμής αυτών. Στο δεύτερο κεφάλαιο, παρουσιάζουμε κάποιες εφαρμογές των σχεδόν περιοδικών συναρτήσεων, κυρίως στη δειγματοληψία. Το κεφάλαιο 3 αποτελείται εξ' ολοκλήρου από το θεώρημα των Hausdorff-Young. Δείχνουμε όλα τα βήματα που οδηγούν σ' αυτό και παρουσιάζουμε αναλυτικά την απόδειξή του. Τέλος, στο τέταρτο κεφάλαιο αποδεικνύουμε ταυτόχρονα δύο θεωρήματα: το θεώρημα Plancherel και το θεώρημα δειγματοληψίας του Shannon.