Τρεις Εναλλακτικές Αποδείξεις Του Θεωρήματος Κharitonov

Abstract

Το 1978 ο Ρώσος μαθηματικός V.L. Kharitonov απέδειξε ότι προκειμένου να αποφανθούμε για την ευστάθεια μιας οικογένειας πολυωνύμων, των οποίων οι συντελεστές κυμαίνονται μεταξύ δύο ακραίων θετικών τιμών, αρκεί να ελέγξουμε την ευστάθεια τεσσάρων μόνο πολυωνύμων - των λεγομένων πολυωνύμων Kharitonov.Στην παρούσα διπλωματική εργασία ερχόμαστε να δώσουμε τρεις ακόμα αποδείξεις του θεωρήματος Kharitonov.Πιο συγκεκριμένα, στο Πρώτο Μέρος της εργασίας παραθέτουμε μια βιβλιογραφική επισκόπηση των σημαντικότερων αποτελεσμάτων που αφορούν τόσο το Θεώρημα Kharitonov, όσο και κάποιες επεκτάσεις και γενικεύσεις αυτού.Στο Δεύτερο Μέρος παρουσιάζουμε το απαραίτητο μαθηματικό υπόβαθρο. Σε αυτό περιέχονται οι προτάσεις και τα θεωρήματα που χρησιμοποιούνται στη συνέχεια της εργασίας και επομένως η αναφορά τους κρίνεται αναγκαία.Στο Τρίτο Μέρος αρχικά παρουσιάζουμε τον απαραίτητο συμβολισμό και ορισμούς που θα χρειαστούν σ΄ όλη την εργασία καθώς και τη γενική συνθήκη για να έχει ένα πολυώνυμο ρίζα πάνω στο φανταστικό άξονα. Έπειτα, λύνουμε με τη βοήθεια των συνθηκών Kuhn - Tucker ένα βοηθητικό πρόβλημα τετραγωνικού προγραμματισμού. Στο τέλος θεωρούμε τρία προβλήματα κυρτού τετραγωνικού προγραμματισμού (τα QP1, QP2, QP3), χρησιμοποιούμε τη λύση του προηγούμενου και με ‘’υπέρθεση’’ των QP2, QP3 λύνουμε το QP1 οδηγούμενοι έτσι, σε μία πρώτη απόδειξη του θεωρήματος Kharitonov.Στο Τέταρτο Μέρος ο συμβολισμός και οι ορισμοί παραμένουν ίδιοι. Εδώ, λύνουμε με τις συνθήκες Kuhn - Tucker τα κυρτά και γραμμικού προγραμματισμού προβλήματα Ρ1, Ρ2 και με τη συμβολή αυτών τα και που με τη σειρά τους συμβάλλουν στη δεύτερη απόδειξη του θεωρήματος Kharitonov.Τέλος, στο Πέμπτο Μέρος αντιμετωπίζουμε επιθετικά το πρόβλημα Ρ του τέταρτου μέρους, (πάντα με χρήση των συνθηκών Kuhn - Tucker), λαμβάνοντας βέβαια υπόψη τις λύσεις των Ρ1, Ρ2 και τη γεωμετρία. Στη συνέχεια, διατυπώνουμε μια ικανή συνθήκη για ευστάθεια (1ο) και αποδεικνύουμε για τρίτη φορά το θεώρημα του Kharitonov με τη βοήθεια του θεωρήματος Hermite - Biehler.Μεγάλη ώθηση και σημαντικές κατευθύνσεις μας έδωσε η διπλωματική εργασία ‘’Εναλλακτικές Αποδείξεις και επέκταση του θεωρήματος Kharitonov’’ του Κωνσταντίνου Τάκου (Ιούλιος 2006).Στο σημείο αυτό θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τον Καθηγητή Νικόλαο Μαράτο για την αμέριστη βοήθεια του στην παρούσα εργασία αλλά και τη γενικότερη καθοδήγησή του κατά τη διάρκεια ολόκληρου του πανεπιστημιακού έτους.