Φαινόμενα Σύγκλισης, Απόκλισης Και Ταλαντώσεων Κατά Την Εφαρμογή Της Μεθόδου Βοηθητικών Πηγών (mas) Σε Απλό Πρόβλημα Κοιλότητας Και Σύγκριση Με Τη Μέθοδο Εκτεταμένης Ολοκληρωτικής Εξίσωσης (eie Method)

Abstract

Στην παρούσα εργασία μελετάται ένα πρόβλημα σκέδασης από ιδανικό αγωγό, ο οποίος φωτοβολείται εσωτερικά. Ο αγωγός επιλέγεται να είναι ένας κυκλικός κύλινδρος απείρου μήκους (κατά z) και η πηγή είναι ένα νηματοειδές ρεύμα παράλληλο στον άξονα z. Η προαναφερθείσα απλή γεωμετρία είναι τέτοια που να επιτρέπει την εύρεση ακριβούς λύσης. Η Μέθοδος Βοηθητικών Πηγών, γνωστή ως MAS (Method of Auxiliary Sources), είναι μια συχνά χρησιμοποιούμενη αριθμητική μέθοδος σε προβλήματα σκέδασης. Η MAS, στην περίπτωσή μας, χρησιμοποιεί Ν βοηθητικές πηγές πάνω σε μια κλειστή επιφάνεια εξωτερική του σκεδαστή. Tα ρεύματα καθεμίας είναι κατ’ αρχήν άγνωστα. Αυτά προσδιορίζονται με επιβολή της συνοριακής συνθήκης σε Ν σημεία πάνω στο σκεδαστή, καθώς τότε προκύπτει ένα ΝxΝ σύστημα με αγνώστους τα MAS ρεύματα. Η ακριβής επίλυση του συστήματος είναι δυνατή λόγω της απλής γεωμετρίας του προβλήματος κι επομένως το MAS πεδίο για πεπερασμένο Ν υπολογίζεται ακριβώς (γεγονός σπάνιο). Χάρη στη δυνατότητα αυτή και ύστερα από αναλυτική μελέτη, βρίσκουμε την ελάχιστη δυνατή απόσταση της βοηθητικής επιφάνειας. Αποδεικνύουμε επιπλέον ότι υπάρχει δυνατότητα, στο όριο Ν>, το MAS πεδίο να συγκλίνει στο πραγματικό, ενώ τα MAS ρεύματα να αποκλίνουν. Αν από την άλλη μεριά, χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο Εκτεταμένης Ολοκληρωτικής Εξίσωσης ή ΕΙΕ (από το Extended Integral Equation) στο ίδιο πρόβλημα τέτοια φαινόμενα δε συμβαίνουν. Στη διπλωματική αυτή εργασία επιτυγχάνεται λοιπόν η εξαγωγή συμπερασμάτων ανάλογων με τις εργασίες [1], [2] και [3] για την περίπτωση που εξετάζουμε. Σημειώνουμε δε, ότι όλα τα θεωρητικά αποτελέσματα ενισχύονται από αριθμητική μελέτη, στην οποία δίνεται ιδιαίτερη προσοχή στη διάκριση των φαινομένων απόκλισης και ταλαντώσεων, που θεωρητικά έχουν προβλεφθεί με τα φαινόμενα που εξαρτώνται από την αριθμητική υλοποίηση και προέρχονται από «round-off» ή «ill-conditioning». Έτσι, αν σε κάποιο «πραγματικό» πρόβλημα σκέδασης, με περίπλοκη γεωμετρία, εφαρμόσει κανείς μεθόδους του Υπολογιστικού Ηλεκτρομαγνητισμού, παρόμοιες με τη MAS και διαπιστώσει αποκλίσεις ή αφύσικες ταλαντώσεις, θα πρέπει να εξετάσει με μεγάλη προσοχή την «πηγή» από την οποία προέρχονται.