Αναλυτική Απόδειξη Του Θεωρήματος Των Πρώτων Αριθμών

Abstract

Σε αυτή τη διπλωματική εργασία παρουσιάζουμε την αναλυτική απόδειξη του Θεωρήματος των Πρώτων Αριθμών. Στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται μια σύντομη ιστορική αναδρομή που ξεκινά από το 18ο αιώνα και καταλήγει στο Riemann, που εισήγαγε τα βασικά αναλυτικά εργαλεία, και στις πρώτες αναλυτικές αποδείξεις των Hadamard και de la Vallee Poussin. Στο δεύτερο κεφάλαιο αναφερόμαστε σε ορισμένα σημαντικά αποτελέσματα της Θεωρίας Αριθμών πάνω στα οποία βασίζεται η απόδειξη της απειρίας των πρώτων. Στο τρίτο κεφάλαιο αναπτύσσεται η θεωρία της συνάρτησης ζ του Riemann. Καταλήγουμε στη ρητή έκφραση που συνδέει τα μηδενικά της συνάρτησης ζ και τους πρώτους αριθμούς (συγκεκριμένα της συνάρτησης ψ(x)). Το τέταρτο κεφάλαιο αποτελεί τον πυρήνα της εργασίας, καθώς είναι αυτό που πραγματεύεται την αναλυτική απόδειξη του Θεωρήματος των Πρώτων Αριθμών. Στα παραρτήματα παρατίθενται βασικά εργαλεία για την απόδειξη του κεντρικού θεωρήματος: ο συμβολισμός του Landau, χρήσιμα αποτελέσματα της Μιγαδικής Θεωρίας Συναρτήσεων, οι συναρτήσεις Γάμμα και Βήτα του Euler, οι αριθμοί και τα πολυώνυμα Bernoulli, ο μετασχηματισμός Mellin και η Θεωρία Αριθμητικών Συναρτήσεων.