Αριθμητική Διερεύνηση Μεθόδων Quasi-newton Για Προβλήματα Ελαχίστου Χωρίς Περιορισμούς

Abstract

O σκοπός της παρούσας διπλωματικής εργασίας ήταν η αριθμητική διερεύνηση και σύγκριση τριών διαφορετικών quasi-newton μεθόδων για προβλήματα ελαχίστου χωρίς περιορισμούς. Συγκεκριμένα, γίνεται σύγκριση των δύο κλασσικών quasi-newton μεθόδων BFGS και DFP με μια νέα προτεινόμενη μέθοδο. Αρχικά, δίνεται έμφαση στην ανάλυση της σκέψης που μας οδηγεί στην εύρεση και χρήση quasi-newton μεθόδων, λόγω της δυσκολίας υπολογισμού της εσσιανής μήτρας της μεθόδου newton. Στην συνέχεια, παρατίθενται οι πλέον αποδοτικοί τρόποι για την εύρεση του μήκους βήματος καθώς και ο αλγόριθμος της νέας μεθόδου. Τονίζεται πως το χαρακτηριστικό της νέας μεθόδου που την διαφοροποιεί από τις κλασσικές είναι oτι εν αντιθέσει με τις κλασσικές μεθόδους που κάνουν χρήση μόνο πληροφοριών της προηγούμενης επανάληψης για την ανανέωση των μητρών τους, η νέα μέθοδος χρησιμοποιεί πληροφορία προηγούμενων επαναλήψεων, ανάλογων των μεταβλητών της υπό ελαχιστοποίηση συνάρτησης. Στα πλαίσια της εργασίας υλοποιήθηκαν στο περιβάλλον του MATLAB έξι διαφορετικά προγράμματα των μεθόδων, στα οποία χρησιμοποιήθηκαν συναρτήσεις, οι οποίες αντλήθηκαν από την βιβλιογραφία προκειμένου να αποφανθούμε για την αποτελεσματικότητα της νέας προτεινόμενης μεθόδου συγκριτικά με τις κλασσικές. Τα αποτελέσματα των πειραμάτων καταγράφηκαν σε πίνακες και μέσω αυτών πραγματοποιήθηκε η σύγκριση μεταξύ των μεθόδων. Εν τέλει, διαπιστώνεται από τα αριθμητικά αποτελέσματα ότι η νέα μέθοδος είναι αξιόπιστη, αποδοτική, εύρωστη και κρίνεται κατάλληλη για την επίλυση προβλημάτων ελαχίστου χωρίς περιορισμούς.