Το Νευρωνικό Δίκτυο Προσήμου για Προβλήματα Ελαχίστου χωρίς Περιορισμούς

Abstract

Στην παρούσα Διατριβή εξετάζεται το δυναμικό σύστημα προσήμου για την επίλυση προβλημάτων ελαχιστοποίησης μιάς συνεχώς διαφορίσιμης συνάρτησης f χωρίς περιορισμούς. Αυτό το δυναμικό σύστημα περιγράφεται από διαφορικές εξισώσεις με ασυνεχές δεξιό μέλος και, στην παρούσα Διατριβή, θεωρείται σαν αναδρομικού τύπου νευρωνικό δίκτυο το οποίο ονομάζουμε Νευρωνικό Δίκτυο Προσήμου. Αποδεικνύουμε πρώτα ότι οι λύσεις του Νευρωνικού Δικτύου Προσήμου συγκλίνουν ασυμπτωτικά, κάνοντας χρήση της θεωρίας Filippov, και στη συνέχεια ότι συγκλίνουν σε πεπερασμένο χρόνο. Εξάγεται ένα βελτιωμένο άνω φράγμα για τον χρόνο σύγκλισης. Μία πρώτη συνεισφορά της παρούσης Διατριβής είναι ο λεπτομερής υπολογισμός της απεικόνισης Filippov για το Νευρωνικό Δίκτυο Προσήμου στην γενική περίπτωση, δηλαδή χωρίς περιοριστικές υποθέσεις για την συνάρτηση f που ελαχιστοποιείται. Η σύγκλιση των λύσεων του Νευρωνικού Δικτύου Προσήμου σε στάσιμα σημεία της f αποδεικνύεται χρησιμοποιώντας τα συνήθη αποτελέσματα, δηλαδή μια γενικευμένη μορφή του θεωρήματος LaSalle. Στη συνέχεια, προκειμένου να αποδειχθεί η σύγκλιση πεπερασμένου χρόνου, επεκτείνονται τα γνωστά σχετικά αποτελέσματα έτσι ώστε να μπορούν να εφαρμοσθούν στο Νευρωνικό Δίκτυο Προσήμου. Τέλος προτείνεται μια πρωτότυπη αποδεικτική διαδικασία για την απόδειξη σύγκλισης πεπερασμένου χρόνου η οποία (i) χαλαρώνει τις απαιτούμενες υποθέσεις για την συνάρτηση f, και (ii) βελτιώνει το άνω φράγμα για τον χρόνο σύγκλισης. Τα αποτελέσματα αριθμητικών πειραμάτων επιβεβαιώνουν τόσο την αποτελεσματικότητα όσο και την σύγκλιση πεπερασμένου χρόνου του Νευρωνικού Δικτύου Προσήμου.