Ελλειπτικές Καμπύλες: Μια Θεωρητική Εισαγωγή

Abstract

Σκοπός της εργασίας αυτής είναι η παρουσίαση των βασικών θεωρημάτων των ελλειπτικών καμπυλών από θεωρητική άποψη. Αρχικά ορίζουμε τα θεμελιώδη εργαλεία που θα χρησιμο- ποιήσουμε από την αλγεβρική γεωμετρία (Κεφάλαια 1-2) και στη συνέχεια με βάση αυτά προχωράμε στη μελέτη των ελλειπτικών καμπυλών ως γεωμετρικά αντικείμενα(Κεφάλαιο 3). Στην συνέχεια μελετάμε τις ισογένειες δηλαδή τους μορφισμούς μεταξύ ελλειπτικών καμπυλών (Κεφάλαιο 4). Αυτό το κάνουμε με δύο τρόπους δίνουμε δηλαδή επιπλέον μια συγκεκριμένη μορφή που χαρακτηρίζει της ισογένειες και διατυπώνουμε με βάση αυτή τα αντίστοιχα θε- ωρήματα και την μορφή που λαμβάνουν αν χρειαστεί να τα ελέγξει κάποιος υπολογιστικά. Στρέφουμε στη συνέχεια τη προσοχή μας σε ελλειπτικές καμπύλες πάνω από πεπερασμένα σώματα όπως το Fq (Κεφάλαιο 5). Στο τέλος του κεφαλαίου αποδεικνύουμε τις εικασίες του Weil για ελλειπτικές καμπύλες. Στο επόμενο κεφάλαιο (Κεφάλαιο 6) εξετάζουμε ελλειπτικές καμπύλες στο C και βλέπουμε την αντιστοιχία τους με το μιγαδικό τόρο δηλαδή τα δικτυωτά στους μιγαδικούς. Τέλος κάνουμε λόγο για ελλειπτικές καμπύλες στο Q (Κεφάλαιο 7) και την δομή της ομάδας μιας καμπύλης περιορισμένη στο Q.