Σύγχρονη Θεωρία Εκπομπής Ηλεκτρονίων από Νανομετρικές Ακίδες υπό Ισχυρό Ηλεκτρικό Πεδίο – Εφαρμογή στην Ηλεκτρονική Μικροσκοπία Εγγύς Πεδίου

Abstract

Στη διατριβή αυτή αναπτύσσουμε μια σύγχρονη θεωρία για την περιγραφή του φαινομένου της εκπομπής ηλεκτρονίων από εξαιρετικά αιχμηρές μεταλλικές ακίδες υπό την επίδραση επιβαλλόμενου εξωτερικού ηλεκτρικού πεδίου. Έναυσμα για την εργασία μας αποτέλεσε το γεγονός ότι η εξέλιξη της θεωρίας πεδιακης εκπομπής από την αρχική της μορφή (Fowler-Nordheim) είχε μέχρι πρόσφατα εστιάσει στη μελέτη του συντελεστή διάδοσης των ηλεκτρονίων μέσα από το εξωτερικό φράγμα δυναμικού χάρη στο κβαντομηχανικό φαινόμενο σήραγγος. Όσον αφορά την παροχή ηλεκτρονίων, δηλαδή την προσπίπτουσα πυκνότητα ρεύματος στην εσωτερική επιφάνεια του εκπομπου από τον όγκο του μέταλλου, ακόμα και πρόσφατες θεωρίες υποθέτουν μια σταθερή τιμή που προκύπτει από την παραδοχή ότι οι ηλεκτρονικές καταστάσεις στην περιοχή της αιχμής του εκπομπου περιγράφονται από επίπεδα κύματα. Ωστόσο, είχε παρατηρηθεί στη σύγχρονη βιβλιογραφία ότι αυτή η υπόθεση είναι αμφίβολη για ακίδες με ακτίνα καμπυλότητας στην νανοκλιμακα (1-5nm), των οποίων η παρασκευή είναι σήμερα πλέον εφικτή χάρη στις μοντέρνες εργαστηριακές τεχνικές. Επιπλέον κίνητρο αποτέλεσε η απόκλιση των προβλέψεων της παραδοσιακής θεωρίας από πειραματικά ευρήματα σχετικά με την πλευρική ακρίβεια (ανάλυση) του νέου είδους ηλεκτρονικού μικροσκοπίου κοντινού πεδίου NFESEM. Το μοντέλο μας ξεκάνει από αναλυτική κβαντομηχανική μελέτη των ενεργειακών ηλεκτρονικών καταστάσεων στο εσωτερικό του εκπομπου στα πλαίσια κατάλληλης γεωμετρίας και προχωράει στον υπολογισμό εκπεμπόμενων τρισδιάστατων ηλεκτρονικών ρευμάτων μετά από συμπερίληψη των αντίστοιχων εξωτερικών ηλεκτροστατικών χαρακτηριστικών του συστήματος. Μελετώνται ιδιότητες όπως η έντονη κβαντοποιηση και η κατανομή ταχυτήτων των ηλεκτρονίων στην κορυφή του νανοσκοπικού εκπομπου, γίνεται σύγκριση με την παραδοσιακή jwkb προσέγγιση του προβλήματος επίπεδων εκπομπών, παρατηρούνται ιδιαιτερότητες της εκπομπής σε υψηλές καμπυλότητες της μεταλλικής επιφάνειας της τάξης του 1nm και ερμηνεύονται, μέσω τόσο του μοντέλου όσο και προσομοίωσης, πειραματικά ευρήματα σχετικά με την πλευρική ανάλυση του ηλεκτρονικού μικροσκοπίου εγγύς πεδίου. Πιο συγκεκριμένα, στο πρώτο στάδιο των ερευνών μας, προκειμένου να προσδιορίσουμε τις ηλεκτρονικές ιδιοκαταστάσεις και την προσπίπτουσα πυκνότητα ρεύματος (μεγέθη απαραίτητα για τη μελέτη της τελικής εκπομπής) καθώς και την ταχύτητα των ηλεκτρονίων την παράλληλη προς την επιφάνεια της ακίδας ακριβώς πριν την εκπομπή τους από το μέταλλο (μέγεθος που καθορίζει την ανάλυση του nfesem), θεωρήσαμε ένα αιχμηρό κβαντικό πηγάδι (που αντιπροσωπεύει μέταλλο η νανοσωλήνας άνθρακα) σε τρισδιάστατες παραβολικές συντεταγμένες εκ περιστροφής. Καταφέραμε να επιλύσουμε αναλυτικά την εξίσωση schroedinger, της οποίας οι ακριβείς λύσεις είναι οι λεγόμενες ειδικές συναρτήσεις whittaker, αποκτώντας έτσι τις ιδιοκαταστάσεις του εκπομπού. Στη συνεχεία θεωρήσαμε μια άνοδο (δείγμα) σε κοντινή απόσταση από την κορυφή της ακίδας και επιλύσαμε την εξίσωση Laplace για τον προσδιορισμό της τρισδιάστατης κατανομής του ηλεκτροστατικού πεδίου στο χώρο έξω από αυτή. Χρησιμοποιώντας το πεδίο αυτό καθώς και το δυναμικό ειδώλου που αντιστοιχεί σε παραβολική μεταλλική επιφάνεια, υπολογίσαμε, μέσω μιας υβριδικής, τρισδιάστατης μεθόδου τύπου JWKB (Jeffreys-Wentzel-Kramers-Brillouin), το συντελεστή διέλευσης ηλεκτρονίων μέσα από το σχηματιζόμενο φράγμα δυναμικού και, κατ’ επέκταση, προσδιορίστηκε το εκπεμπόμενο ρεύμα. Στο δεύτερο αυτό στάδιο της εργασίας μας (πλήρες πρόβλημα πεδιακής εκπομπής) χρησιμοποιούνται τα αποτελέσματα της προηγούμενης φάσης διότι οι ιδιοκαταστάσεις του μέταλλου και η παράλληλη ταχύτητα των ηλεκτρονίων στην έξοδο τους από αυτό δεν αλλάζει με την επιβολή του εξωτερικού πεδίου καθώς τα ηλεκτροστατικά πεδία αφενός δε διεισδύουν στα μέταλλα αφετέρου οι ηλεκτρικές δυναμικές γραμμές είναι κάθετες σε κάθε σημείο της μεταλλικής επιφάνειας. Σημαντικές διαφορές σε σχέση με τη συνήθη καρτεσιανή γεωμετρία της παραδοσιακής θεωρίας παρατηρηθήκαν και παρουσιάζονται στη διατριβή αυτή. Περιληπτικά, τα κυρία ευρήματα μας περιλαμβάνουν τα εξής: (1) τόσο η προσπίπτουσα κάθετα όσο και η παράλληλη ηλεκτρονική ροη στην εσωτερική επιφάνεια της ακίδας είναι συναρτήσεις της γωνίας ως προς τον άξονα συμμετρίας του συστήματος και καθορίζουν τη γωνία εκπομπής. (2) η μονοδιάστατη wkb μέθοδος αποτυγχάνει για το κβαντικό πηγάδι καθώς η εφαρμογή της οδηγεί σε εκθετικά μειούμενα κύματα που αντιστοιχούν σε κλασικά απαγορευμένη περιοχή μέσα στο μέταλλο δηλαδή δίνει αφύσικες λύσεις. Αυτό οφείλεται σε όρους ενεργών (effective) δυναμικών που εμφανίζονται στις διαχωρισμένες μονοδιάστατες εξισώσεις. Οι οροί αυτοί παρουσιάζουν ιδιόμορφα σημεία στον άξονα και στην κορυφή του πηγαδιού με συνέπεια να μεταβάλλονται ταχέα στην περιοχή της αιχμής της ακίδας παραβιάζοντας έτσι τη συνθήκη εγκυρότητας της μεθόδου. (3) οι ιδιοσυναρτησεις του νανο-εκπομπου εμφανίζουν ισχυρή κβαντοποιηση: πλήρης διακριτοποίηση παρατηρείται στις δυο συνιστώσες της λύσης λογά γωνιακής περιοδικότητας (αζιμουθιακή συμμετρία) και της εξαιρετικά μικρής ακτίνας καμπυλότητας ενώ ένα σχεδόν συνεχές φάσμα σχηματίζεται ως προς την τρίτη διάσταση λόγω του σχετικά μεγάλου μήκους της ακίδας. Μόνο οι πρώτες τιμές των κβαντικών αριθμών σε κάθε ενεργειακό επίπεδο κοντά στη στάθμη fermi έχουν σημαντική συνεισφορά στο εκπεμπόμενο ρεύμα καθώς οι επόμενες ιδιοκαταστασεις περιλαμβάνουν ηλεκτρονική στροφορμή εις βάρος της εγκάρσιας ηλεκτρονικής πρόσπτωσης (για δεδομένη συνολική ενεργεία) έχοντας έτσι μικρότερη κατά τάξεις μεγέθους πιθανότητα εκπομπής. (4) η παράλληλη προς τη μεταλλική επιφάνεια ταχύτητα ηλεκτρονίων μηδενίζεται στην κορυφή της ακίδας οδηγώντας στην επιτυχή θεωρητική ερμηνεία πειραματικών ευρημάτων όσον αφορά το εύρος ίχνους δέσμης στο δείγμα του nfesem δηλαδή την απεικονιστική ευκρίνεια του πρωτότυπου οργάνου. (5) αντιμαχόμενες συμπεριφορές βρεθήκαν ανάμεσα στο τοπικά ενισχυόμενο ηλεκτρικό πεδίο (που καθορίζει την πιθανότητα διάδοσης μέσα από το φράγμα) στην αιχμηρή κορυφή του εκπομπου και στην κάθετα προσπίπτουσα παροχή ηλεκτρονίων (που είναι διαθέσιμη για εκπομπή) καθώς η ακτίνα καμπυλότητας της ακίδας συρρικνώνεται, γεγονός που σημαίνει ότι ίσως υπάρχει μια βέλτιστη τιμή ακτίνας όσον αφορά τα χαρακτηριστικά εκπομπής. (6) το εύρος του φράγματος δυναμικού υπό σταθερό τοπικό πεδίο αυξάνει καθώς μικραίνει η ακτίνα. Αυτό συνεπάγεται μικρότερη πιθανότητα εκπομπής δηλαδή χαμηλότερο ρεύμα. (7) η εκπεμπόμενη πυκνότητα ρεύματος είναι συνάρτηση της γωνίας με τον άξονα και οι τιμές της είναι περίπου μια τάξη μεγέθους μικρότερες σε σύγκριση με το συνηθισμένο μοντέλο που χρησιμοποιεί το σφαιρικό δυναμικό ειδώλου. (8) τα διαγράμματα f-n που προκύπτουν παρουσιάζουν καμπύλωση που γίνεται εντονότερη καθώς η ακίδα γίνεται πιο αιχμηρή. Αυτό το φαινόμενο έχει συνέπειες (σφάλματα) στον πειραματικό χαρακτηρισμό ιδιοτήτων νάνο-εκπομπών με βάση παραδοσιακές ρουτίνες που στηρίζονται στην υπόθεση ότι τα εν λογω διαγράμματα είναι ευθύγραμμα. (9) σε μια πρόσφατη προσπάθεια σύνδεσης της νέας θεωρίας με το πείραμα, παρουσιάστηκαν συντελεστές διόρθωσης -για διάφορα r- με τους οποίους πρέπει να πολλαπλασιαστούν πειραματικά ευρήματα (βασισμένα στην κλασική θεωρία) ώστε να αποφευχθούν σημαντικά σφάλματα.