Αραιές Αναπαραστάσεις στα Τροπικά Μαθηματικά

Abstract

Η εργασία αυτή ασχολείται με θέματα αραιής αναπαράστασης σημάτων σε μη γραμμικούς διανυσματικούς χώρους. Από τη δεκαετία του 1990 και έπειτα έχει πραγματοποιηθεί μια επανάσταση στον τομέα της Επεξεργασίας Εικόνας και Σήματος μέσω της Θεωρίας των Αραιών Αναπαραστάσεων, κατά την οποία έχουν γίνει φανερά τα πλεονεκτήματα χρήσης πλεοναστικών βάσεων αναπαράστασης για πολλές κλάσεις σημάτων και έχουν αναπτυχθεί ταχείς αλγόριθμοι για την εύρεση των απλούστερων/αραιότερων (εκείνων με τα περισσότερα μηδενικά) σημάτων στις βάσεις αυτές. Εδώ, θα αναφερθούμε στην επέκταση τέτοιων ιδεών σε μη γραμμικούς χώρους όπου κυριαρχούν οι πράξεις του maximum και της πρόσθεσης. Συχνά χρησιμοποιούνται οι όροι max-plus άλγεβρα και τροπική άλγεβρα/γεωμετρία για την αναφορά στους χώρους αυτούς. Έχουν χρησιμοποιηθεί στην Όραση Υπολογιστών και τη μη γραμμική Επεξεργασία Σήματος, παραδοσιακά εφαρμόστηκαν σε προβλήματα Επιχειρησιακής Έρευνας, ενώ τα τελευταία χρόνια έχουν γίνει διάφορες προσπάθειες για σύνδεση τους με προβλήματα της Μηχανικής Μάθησης. Μια θεωρία αραιών αναπαραστάσεων πιστεύουμε ότι μπορεί να ωφελήσει ποικιλοτρόπως τους παραπάνω τομείς. Θα μελετηθούν θέματα υπολογισμού αραιών λύσεων εξισώσεων, όπως η υπολογιστική δυσκολία του προβλήματος και εργαλεία βελτιστοποίησης που επιτρέπουν τη σχεδίαση αποδοτικών αλγόριθμων, εφαρμογές της θεωρίας στις περιοχές των μη γραμμικών δυναμικών συστημάτων και της Μηχανικής Μάθησης, ενώ στο τέλος της εργασίας γίνονται βήματα προς τη γενίκευση των ιδεών σε πιο αφηρημένους διανυσματικούς χώρους.