Συμπεριφορά μεθόδου βοηθητικών πηγών σε ηλεκτρομαγνητικά προβλήματα διάδοσης

Abstract

Η μέθοδος των βοηθητικών πηγών (MAS) αποτελεί μια συστηματική προσέγγιση επίλυσης προβλημάτων συνοριακών τιμών. Στην περιοχή του Υπολογιστικού Ηλεκτρομαγνητισμού οι εξισώσεις του Maxwell και οι οριακές συνθήκες ικανοποιούνται από ένα σύνολο Ν το πλήθος βοηθητικών πηγών τοποθετημένων επί αντίστοιχων βοηθητικών επιφανειών. Οι πηγές είναι τέτοιες ώστε να ικανοποιείται η οριακή συνθήκη σε Ν διακριτά σημεία επιλεγμένα πάνω στο σύνορο. Στην εργασία αυτή, η MAS εφαρμόζεται και αναλύεται σε 2 απλά δισδιάστατα μαγνητοστατικά προβλήματα σκέδασης/διάδοσης κυκλικού & ελλειπτικού συνόρου, των οποίων οι αναλυτικές λύσεις είναι γνωστές. Στην πρώτη περίπτωση, προβλέπεται η σύγκλιση ή η απόκλιση καθώς 𝛮 → ∞ των ρευμάτων των πηγών μέσω κλειστών εξισώσεων για αυτά, οι οποίες εξάγονται χρησιμοποιώντας στοιχειώδη ηλεκτρομαγνητική θεωρία και μερικές σχετικά απλές μαθηματικές τεχνικές. Οι κλειστές εξισώσεις για τα ρεύματα, αποκλείουν κάθε περίπτωση για την ύπαρξη σφαλμάτων που προέρχονται από το πεπερασμένο μήκος λέξης του υπολογιστή, τουλάχιστον για χαμηλούς αριθμούς κατάστασης του σχετιζόμενου προβλήματος αντιστροφής πίνακα. Δείχνεται επίσης πως είναι δυνατόν, με ένα σύνολο ρευμάτων που αποκλίνουν να λαμβάνεται ένα συγκλίνον MAS πεδίο. Η σύγκλιση (και το σφάλμα προσέγγισης της MAS) των πηγών εξαρτάται από τη σχετική θέση των βοηθητικών επιφανειών και της περιοχής σύγκλισης των λύσεων. Όλα τα παραπάνω επιβεβαιώνονται και αριθμητικά. Στη δεύτερη περίπτωση, καθώς εξ’ όσων είναι γνωστά δεν υπάρχει δυνατότητα για εύρεση της λύσης σε κλειστή μορφή αλλά οι αντίστοιχες ακτίνες σύγκλισης είναι γνωστές, επιβεβαιώνονται οι παραπάνω προβλέψεις μέσω αριθμητικών πειραμάτων σε διατάξεις με διάφορα χαρακτηριστικά. Η συμπεριφορά αυτή, πιστεύεται πως εξακολουθεί να ισχύει και σε διατάξεις αυθαίρετου σχήματος.